Browse By

Olivia CARAMELLO – Unifier les mathématiques

Olivia Caramello est post-doctorante à l'IHES. Son programme de recherche est incontextablement ambitieux. Il vise à unifier les mathématiques via les topos d’Alexandre Grothendieck. 
 
Pour Olivia, il est intéressant de regarder les choses de plusieurs points de vue, tant en mathématiques que les autres disciplines. Quand elle parle d’unification, elle identifie ce que les choses ont – ou non – en commun entre elles. Elle tente de comprendre à quel niveau il convient d’étudier leurs relations. Et elle cherche leur sens en les plaçant dans un champ plus grand.
 
Avec les topos classifiants d’une théorie géométrique du premier ordre, on peut décrire dans des langages différents un même contenu mathématique. 
 
D’abord Olivia s'est intéressée à la logique puis à la théorie des catégorie et a choisi une direction combinant les deux : la voie des topos. Olivia a constaté que l’on pouvait considérer la notion de théorie mathématique comme un objet mathématique. Les mathématiques sont non seulement des outils mais aussi des objets naturels d’étude. 
 
Comment comprendre la dualité mathématique ? Que ce passe-t-il lorsqu’il existe plusieurs langages pour exprimer la même structure ? La logique permet de formaliser ces langages et de parvenir à une étude méta-mathématique. 
 
Toute théorie du premier ordre écrite sous la forme géométrique admet un topos classifiant ; ce qui veut dire que l’on peut associer des topos à des théories complètement différentes. Cependant, la théorie des topos n’est pas suffisamment abstraite pour devenir vide. Il faut veiller à ce que les concepts ne perdent pas le contact avec la réalité.
 
Quand on veut comparer deux objets qui sont à un certain niveau, on identifie un troisième objet dans lequel on peut regarder les deux précédents.
 
On met en relation deux objets par le biai d’un troisième plutôt que de les connecter de façon linéaire. Ainsi l'on peut avoir des topos classifiants équivalents pour deux théories différentes sans que les deux théories soient bi-interprétables au sens classique. S’il manque un dictionnaire direct qui permet de relier deux théories, on peut quand même transférer beaucoup d’informations entre les deux en utilisant leurs topos classifiants communs comme un pont. 
 
La notion de bi-interprétabilité ne change pas la forme des problèmes ; ce que l’on fait c’est essentiellement renommer les choses. Mais lorsque l’on procède au transfert à travers les topos, certaines propriétés se transforment significativement en propriétés qui apparemment n’ont rien à voir avec celles du départ. Ainsi des problèmes très complexes peuvent devenir largement plus simple.
 
L’unification engendre la diversité. Quand on parle d’unification, il faut comprendre que l’on explique comment les différences et les dualités s’engendrent.
 
Quelles sont les conséquences induites par le fait de présenter une théorie de façon différente ? 
 
En logique, c’est un problème complexe de comprendre si une théorie est complète. Une théorie est dite complète si et seulement si pour toute assertion du premier ordre dans le langage de cette théorie, cette assertion est démontrablement vraie ou démontrablement fausse dans la théorie mais pas les deux simultanément. A partir des topos classifiants, on peut reformuler la propriété de complétude à travers un invariant défini sur son topos classifiant. On peut alors utiliser d’autres représentations équivalentes du même topos pour reformuler de manières différentes cet invariant.
 
Il y a plusieurs raisons qui font que les topos de Grothendieck sont particulièrement indiqués pour étudier les théories mathématiques en relation les unes avec les autres. D’abord on peut construire le topos classifiant de n’importe quelle théorie géométrique du premier ordre. Ceci montre que l’on peut, à partir de différents secteurs des mathématiques, construire des topos. Le fait même d'être en mesure d'associer le même type d’objets à des entités mathématiques en principe très différentes, permet d’étudier les relations entre deux théories en considérant les topos associés. 
 
Les topos de Grothendieck sont des catégories et ont donc une très bonne théorie des invariants. Toute propriété formulée dans le langage catégorique est, par le biais d’un méta-théorème, invariante par équivalence des catégories. On peut engendrer une quantité infinie d’invariants catégoriques. 
 
Les topos de Grothendieck ont une structure interne extrêmement riche et ne présentent aucun trou. 
 
Les mathématiciens se sont aperçus qu’il est très important d’ajouter des éléments imaginaires tels que le zéro ou l’ensemble vide ; ceci permet d’enrichir l’environnement mathématique, d’obtenir plus de symétries et de pouvoir calculer de façon beaucoup plus efficace.
 
Pour construire le topos classifiant d’une théorie, on ajoute autant d'imaginaires que possible, construits à partir de la théorie, de façon à obtenir un véritable univers mathématique, étudiable efficacement, sans être contraint d'en sortir.  
 
Les topos de Grotendieck permettent le passage entre le mathématique et le méta-mathématique en ce sens où l’on a deux niveaux : celui des sites qui représente les théories et le celui des topos qui représente le niveau des objets unifiants attachés aux théories. Pour construire un topos à partir d’un site, on prend tous les faisceaux sur le site donné. Quand on considère les invariants définis sur les topos, pour beaucoup d’entres eux on peut trouver des caractérisations assez convaincantes et élémentaires en termes de sites ; ce qui permet de construire "les arches du pont" et de pouvoir à partir d’une propriété d’un site, arriver au niveau des topos et d'essayer, en utilisant une autre représentation du même topos, de sortir du pont de l’autre côté pour y trouver une propriété correspondante. 
 
Cette notion se prête très bien à un calcul universel sur les théories. Il y a certaines classes d’invariants pour lesquels ce processus est automatique, ce qui permet d’engendrer beaucoup de résultats de façon semie automatique. Pour d’autres invariants, la situation peut être plus compliquée, entraînant par exemple l’utilisation de la combinatoire spécifique des sites. Le cadre général reste celui d’une grande « naturalité technique ».
 
C’est à partir des topos classifiants que l’on va pouvoir élaborer les modèles universels (un modèle universel étant le coeur sémantique de la construction syntaxique qu’est le topos classifiant). 
 
La sémantique c’est le monde des choses concrètes. La syntaxe est ce que nous utilisons pour décrire la réalité – qui est forcément plus pauvre que cette dernière. En mathématiques, la sémantique s’apparente aux structures. La syntaxe est la manière de décrire les structures dans différents langages. La logique enseigne l'étude des relations entre le langage et la sémantique. 
 
On peut interpréter une théorie donnée dans plusieurs structures différentes. Selon cette interprétation qui est définie canoniquement suivant le fragment de logique dans lequel on travaille, on dit qu’il s’agit d’un modèle si tous les axiomes sont satisfaits. A partir d’une présentation axiomatique d’une théorie, on peut regarder si la classe de tous les modèles représentent fidèlement cette théorie. 
 
Dans la logique classique, on considère seulement comme modèles les structures ensemblistes. On n’obtient pas ainsi une représentation assez fidèle de la théorie. Plutôt que d’essayer de représenter une théorie dans un univers qui n’est pas forcément l’univers naturel dans lequel la théorie vie, par le biais des topos, on essaie de construire l’environnement naturel pour la théorie ; cet environnement naturel sera son topos classifiant. A l’intérieur de cet environnement, il existe un modèle, construit à partir de la syntaxe de la théorie et qui satisfait une forme très forte de complétude. Tous les autres modèles de la théorie peuvent être obtenus à partir du modèle universel par déformations réalisées par des foncteurs qui préservent la structure logique inhérente à son topos classifiant.
 
On obtient une image de classification qui montre que le topos classifiant représente le coeur de la théorie, à savoir la manière la plus naturelle de regarder les choses. 
 
Ici le sujet d’étude est une théorie qui est elle-même axiomatisée ; ce qui fait que le topos classifiant est le lieu de rencontre entre la sémantique et la syntaxe. Au lieu de considérer seulement les modèles ensemblistes, on observe tous les modèles de la théorie dans tous les topos possibles jusqu’à trouver un topos particulier qui donne une forme très forte de complétude et qui ne sera pas du tout en général le topos des ensembles.
 
Quand on cherche à n’étudier que les modèles ensemblistes de la théorie, on a l’impression d’un manque de symétrie car le point de vue n’est pas le plus naturel. Les choses doivent être construites pour être ensuite calculées et comprises. C’est en adoptant un point de vue élargi que l’on obtient une vision globale de la symétrie.
 
Qu’en est-il de la créativité du mathématicien et de ses outils de découverte ? Qu’est-ce qui est de l’ordre du méthodique, qu’est-ce qui est ou devrait être de l’ordre de l’intuitif ?
 
L’idéal serait d’avoir des méthodes générales qui nous guident dans nos recherches mathématiques et qui s’appliquent à un grand nombre d’ingrédients. L’intuition devrait être réservée plutôt à la fabrication de nouveaux outils dédiés à l’exploration de la réalité mathématique. Il ne faut pas hésiter à mécaniser ce qui peut l’être. 
 
 
 

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *


3 + = douze

Vous pouvez utiliser ces balises et attributs HTML : <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>